Paraboloidy

            Paraboloidy, jakožto kvadriky, jsou z hlediska afinní klasifikace dva. Eliptický a hyperbolický.

       I . Eliptický paraboloid

          V kanonické bázi má vyjádření    z = x^2+y^2 . Tato rovnice odpovídá speciálnímu a to kruhovému neboli rotačnímu paraboloidu a eliptický

      z něho snadno dostaneme afinitou.

          Plocha je to neomezená a proto si ji pro naše účely omezíme podmínkou     x^2+y^2 <= r^2 . tj. budeme uvažovat pouze jeho část od vrcholu

     až po rovnoběžkovou kružnici s poloměrem r .

         Jeho parametrické vyjádření je např. takovéto    p(u,v) = [u, v, u^2+v^2] .

         Nyní si spočteme povrch námi uvažovné části ( obsah "horního" kruhu do povrchu nepočítáme ). K tomu spočteme parciální derivace jeho porametrizace

     a následovně první formu plochy.

         Diff(p,u) = (1, 0, 2*u)              Diff(p,v) = (0, 1, 2*v)        a tedy         E = 4*u^2+1      F = 4*u*v       G = 4*v^2+1

         Povrch plochy spočteme takto:                                         ( EDIT -EXECUTE - WORKSHEET )

>    S=Int(Int(sqrt(E*G-F^2),u=a..b),v=c..d);

S = Int(Int((E*G-F^2)^(1/2),u = a .. b),v = c .. d)

         Po dosazení tedy máme spočíst dvojný integrál z integrandu sqrt(1+4*v^2+4*u^2)   s podmínkou    x^2+y^2 <= r^2 .

         Výpočet si usnadníme substitucí do polárních souřadnic   u = s*cos(f)          f   je z intervalu `<,>`(0,2*Pi)

                                                                                               v = s*sin(f)           s   je z intervalu   `<,>`(0,r) .   Jakobián je roven s .

         Dostáváme tedy:

>    S=Int(Int(s*sqrt(1+4*s^2),s=0..r),f=0..2*Pi);

S = Int(Int(s*(1+4*s^2)^(1/2),s = 0 .. r),f = 0 .. 2*Pi)

       což snadno dopočteme pomocí substituce sqrt(1+4*s^2) = t .

>    1/4*2*Pi*Int(t^2,t=1..sqrt(1+4*r^2))=Pi/6*((1+4*r^2)*sqrt(1+4*r^2)-1);

1/2*Pi*Int(t^2,t = 1 .. (1+4*r^2)^(1/2)) = 1/6*Pi*((1+4*r^2)^(3/2)-1)

       Máme tedy povrch časti rotačního paraboloidu       S = 1*Pi/6*((1+4*r^2)^(3/2)-1) .

        Ještě si tuto plochu nakreslíme:

>    r:=1:

>    plot3d(x^2+y^2,x=-r..r,y=-sqrt(r^2-x^2)..sqrt(r^2-x^2));

[Maple Plot]

    

   II . Hyperbolický paraboloid

        V kanonické bázi má rovnici z = x^2-y^2  . Pro tuto plochu spočteme to, co jsme udělali pro paraboloid eliptický.

        Parametrické vyjadření je :    p(u,v) = [u, v, u^2-v^2] .

 

        Dále      Diff(p,u) = (1, 0, 2*u)       Diff(p,v) = (0, 1, -2*v)        a tedy        E = 4*u^2+1       F = -4*u*v        G = 4*v^2+1 .

           První forma se u obou ploch sice liší o znamení u složky F , ale výraz   E*G-F^2   zůstává stejný. Proto při výpočtu povrchu plochy, kterou bychom

      omezili jako v předchozím případě, dostáváme stejný výsledek.

           Na obou plochách se tedy "měří" stejně.

        Ještě zbývá obrázek:   ( plocha je opět zobrazena nad kruhovým půdorysem )

>    plot3d(x^2-y^2,x=-r..r,y=-sqrt(r^2-x^2)..sqrt(r^2-x^2),orientation=[-60,72]);

[Maple Plot]

>