Kisoida

          Kisoida je rovinná křivka, kterou odvodíme pomocí kružnice se středem v počátku a s poloměrem r .

          Kružnice má parametrizaci:   p(t) := [r*cos(t), r*sin(t)]

          Spočteme tečný vektor:     Diff(p,t) = (-r*sin(t), r*cos(t))

         Hledanou křivku si označíme k(t)   a budeme ji hledat jako křivku, jejiž body leží na tečnách ke kružnici a zároveň tak, aby byla kolmá na systém

     tečen kružnice.

          Musí tedy platit      k(t) = p(t)+l(t)*Diff(p,t) .  

          Budme nyní hledat vyjádření funkce l(t)  tak, aby tečný vektor křivky k(t)  byl kolmý na tečný

      vektor kružnice. Nejprve spočteme tečný vektor křivky k(t) .

             { spuštění ........   EDIT - WORKSHEET - EXECUTE  )

>    restart:

>    with(plots):

>    k(t):= p(t)+l(t)*Diff(p(t),t):

>    Diff(k,t)=diff(k(t),t);

>   

Diff(k,t) = diff(p(t),t)+diff(l(t),t)*Diff(p(t),t)+l(t)*Diff(diff(p(t),t),t)

>   

         Aby jsme dosáhli kolmosti, tak tuto rovnici vynásobíme skalárně Diff(p,t)  a položíme rovno nule, tedy

>    0=(1+Diff(l,t))*Diff(p,t)*Diff(p,t)+l(t)*Diff(p,t,t)*Diff(p,t);

0 = (1+Diff(l,t))*Diff(p,t)^2+l(t)*Diff(p,`$`(t,2))*Diff(p,t)

        Snadno spočteme, že      Diff(p,t)*Diff(p,t,t) = 0        a       Diff(p,t)^2 = r^2

       Dosazením dostáváme rovnici, kterou snadno vyřešíme  ( aditivní konstanta je rovna nule )

>    Diff(l(t),t)=-1;

Diff(l(t),t) = -1

>    l(t)=-t;

l(t) = -t

     Můžeme tedy napsat rovnici kisoidy:     k(t) = [r*cos(t)+t*r*sin(t), r*sin(t)-t*r*cos(t)] .

     Ještě si povšimneme vzdálenosti bodů p(t)  a q(t) .  Je totiž rovna abs(t)*r  , což je právě délka oblouku kružnice příslušná parametru t .

     Proto se také kisoida nazývá též odvynovka, protože ji lze získat také prakticky takto. Například na kruh (válec) namotáme provázek upevněný

    v jednom bodě k povrchu a potom konec provázku při odvíjení ( musí být stále napnutý ) opisuje právě kisoidu.

     Nyní si tuto křivku nakreslíme.

>    r:=1:

>    A:=plot([r*cos(t)+t*r*sin(t), r*sin(t)-t*r*cos(t),t=0..2*Pi]):

>    B:=plot([r*cos(t),r*sin(t),t=0..2*Pi],color=green):

>    display({A,B},scaling=constrained);

[Maple Plot]

              Pro názornost vzniku kisoidy si ji vytvoříme ještě následující animací.

>    C:=animate([r*cos(t)-tt*r*sin(t),r*sin(t)+tt*r*cos(t),tt=0..0.1],t=0..2*Pi,color=black):

>    E:=animate([r*cos(t),r*sin(t),t=0..2*Pi],tt=0..1,color=green):

>    bod:=animate([r*cos(t*s)+s*t*r*sin(t*s),r*sin(t*s)-s*t*r*cos(t*s),s=0..1],t=0..2*Pi,color=red):

>    F:=animate([r*cos(t)+tt*(r*cos(t)-r*cos(t)+t*r*sin(t)),r*sin(t)+tt*(r*sin(t)-r*sin(t)-t*r*cos(t)),tt=0..1],t=0..2*Pi,color=blue):

>    display(C,E,F,bod,scaling=constrained);

[Maple Plot]

>   

           

    Animaci lze spustit kliknutím na obrázek a poté na ikonku PLAY na horní liště

             Délka modré úsečky je právě délka oblouku kružnice od bodu [r,0] do bodu dotyku tečny. Po animaci je tedy rovna 2*Pi*r .