Nakreslete Projektivní prostor RP2 v euklidovském prostoru E4 (,což je R4 se standartní topologií otevřených množin, ... - klasický geometrický prostor). (znak R značí množinu reálných čísel.)
Co je Projektivní prostor RP2:
Projektivní prostor RP2 je izomorfní 2-rozměrné sféře (povrch koule), která má ztotožněné protější body vzhledem ke středu koule(!).
Popišme realizaci RP2 podle zadání. Euklidovský prostor E4 budeme reprezentovat jako E3 a za čtvrtý rozměr si vezmeme čas. Protože RP2 je dvou-dimenzionální, výsledný obrázek je pohybující se uzavřená křivka. Aby byl obrázek co nejnázornější, je vedle "kroutící se" křivky vykreslena i část sféry (dvě obruče), která je v daném čase vzorem právě zobrazené křivce; navíc je obrázek obarven tak, že body se stejnou barvou si odpovídají. Stejně obarvené body na obručích značí ztotožnění podle zadání a stejně obarvené body mezi obručemi a křivkou ukazují zobrazení, které je výsledkem této úlohy.
Dále je přiložen i obrázek rotace plochy, po které se kroutící křivka pohybuje, spolu s jednou křivkou, jež nám pomůže při orientaci.
Zde se nachází zdrojový kód MAPLEu, který vygeneruje kýžený výsledek - obrázek.
Úloha byla zadána konkrétně pro Projektivní prostor dimenze 2. Níže uvádím definici a pár poznatků, které se týkají rozšíření Projektivního prostoru do více rozměrů, tedy RPn.
Definice: (Projektivní prostor RPn)(nelekněte se - viz Fakt)
Projektivní prostor RPn nazveme prostor (R(n+1)-{0})/~, kde "/" je faktorizace a ~ je definována: x1~x2 z R(n+1)-{0} právě tehdy, když existuje a z R, že x1=a*x2.
Fakt:
Projektivní rovina
Níže se nachází výsledný obrázek, který je hlavním výsledkem tohoto referátu. Popis je možno nalézt v rámci řešení.
Příloha - projekce Projektivní roviny
Níže se nachází plocha, po které se "kroutící se křivka" (viz výše) pohybuje (blíže viz Postřeh(iii)). Do obrázku je přidaná jedna křivka (červeně) (přibližně z poloviny časového průběhu) pro snazší zorientování se v prostoru. Plocha je obarvena přesně podle průchodu barevné kroutící se křivky z předešlého obrázku. Mohli jste si také všimnout zajímavé a důležité skutečnosti, že plocha se protíná! Doporučuje se porovnat s předchozím obrázkem!
Jinak také řečeno: Je to projekce Projektivní roviny přes čas do prostoru. Nebo ještě jinak: Je to 3D verze předešlého obrázku.