Úvod

 V tomto pracovním listu se podíváme na řešení pohybové rovnice tlumeného harmonického oscilátoru. Nejdříve rovnici sestavíme a stručně probereme jednotlivé typy jejích řešení. Poté se podíváme na to, jak si s rovnicí poradí Maple. Nakonec zkusíme sestavit jednoduchou animaci lineárního oscilátoru přímo v grafu řešení rovnice. Jak uvidíme později, řešení rovnice má tři varianty:

1) Tlumené kmity

2) Mezní aperiodický stav

3) Kritické tlumení

Jak na to

Při sestavování pohybové rovnice vyjdeme z druhého Newtonova zákona:

.

Pokud polohu jako funkci času označíme , můžeme rovnici přepsat do tvaru

V případě lineárního oscilátoru můžeme sílu vyjádřit jako přímo uměrnou aktuální výchylce, odpovídající koeficient označíme . Síla směřuje vždy směrem do klidové polohy, to jest má opačné znaméno než výchylka. Budeme se zajímat o tlumení, které je přímo úměrné rychlosti pohybu, což je ve spoustě fyzikálních situací v podstatě splněno. Koeficient tlumení označíme . Konečná podoba naší rovnice tedy je

Vidíme, že se jedná o rovnici bez nezávislé proměnné. Řešení klasickým způsobem pouze naznačíme, protože ve srovnání s použitím možností Maplu se jedná o postup poněkud zdlouhavý. Poslouží nám ovšem jako dobrá ilustrace toho, kolik práce mohou matematické programy ušetřit :-).

I když nápověda Maplu navrhuje jiný postup, pro názornost bych použil následující. Na základě rovnice napíšeme chrakteristický polynom:

.

Jeho řešení bude pochopitelně záviset na hodnotách koeficientů. Tím se řešení rozdělí na tři případy, které odpovídají i třem různým fyzikálním situacím. Pokud , jedná se o mezní případ 'optimálního tlumení' (viz například tlumiče pérování automobilů a motocyklů).  je případ kritického tlumení, kdy je tlumení tak veliké, že návrat do klidové polohy trvá déle než v prvním případě. Poslední možností je , což je klasické tlumené kmitání. V každém z případů bychom potom na základě kořenů chrakteristického polynomu nalezli fundamentální systém řešení. Tím ovšem není řešení hotové, ještě potřebujeme vzít v úvahu počáteční podmínky a na jejich základě stanovit koeficienty lineární kombinace jednotlivých funkcí fundamentálního systému... Jak říkám - ne zrovna málo práce. Takže pokud se vám nechce stejně jako mně, zkusme se podívat, jak nám s tím pomůže Maple :-).