Diferencialni rovnice s parametrem
Mejme vceklu jednoduchou diferencialni rovnici
x'(t)-t=a
> with(plots):
> d2:=diff(x(t),t)+t-a=0;
vyresime
> dsolve({d2,x(0)=0}, x(t));
a vytvorime si funkci
> r1:=(t,a)->-1/2*t^2+a*t;
a nyni se podivame, co vlastne zmena parametru a provede s resenim
> animate([t,r1(t,a), t=-30..30], a=-10..10, frames=60, color=blue, view=[-30..30,-50..50], title=`Zmena umisteni reseni v zavislosti na parametru`);
Nyni mame trochu komplikovanejsi diferencialni rovnici, nebot parametr stoji u x'.
ax'(t)-t=1
> d2:=a*diff(x(t),t)-t-1=0;
> dsolve({d2,x(0)=0}, x(t));
Na reseni x(t) je videt, ze a=0 bude cinit problemy. Navic je zrejme, ze se parametr podili i na zmene tvaru reseni
a ne jen na jeho umisteni, jako v predchozim pripade.
Pro a=0 nema rovnice smysl. Pro a<>0 urcuje tento parametr rozevreni paraboly.
> r2:=(t,a)->1/2*t^2/a+t/a;
> animate([t,r2(t,a), t=-7..5], a=0.001..10, frames=50, color=blue, view=[-7..5,-15..10], title=`Zmena tvaru reseni podle parametru`);
Nyni umistime parametr jak k x' tak i k x.
> d3:=diff(x(t),t)/a-x(t)/(a+3)-1=0;
> dsolve({d3,x(0)=0}, x(t));
> r3:=(t,a)->-a-3+exp(a*t/(a+3))*(a+3);
Reseni ma smysl pro a<>-3. Dale je zajimave, ze pro a=3 je resenim konstanta, ktera zavisi na pocatecni podmince. V ostatnich
pripadech dostavame, prislusne modifikovanou, exponencialu.
> animate([t,r3(t,a), t=-50..50], a=-2.8..5, frames=100, color=red, view=[-50..50, -5..15],title=`Tvar reseni v zavislosti na parametru`);
Dosavadni rovnice mely reseni pro skoro vsechny parametry a a definicni obor byla cela realna osa. Jiz ze zadani je videt, ze resit
tuto rovnici ma smysl pouze na intervalu -a < t < a , jinak neni definovana odmocnina.
> d4:=diff(x(t),t)=x(t)/sqrt(a-t^2);
> dsolve({d4,x(0)=1},x(t));
> r4:=(t,a)->exp(arctan(t/(sqrt(a-t^2))));
Stejne jako v zadani i zde je videt omezeni na parametr a a definicni obor.
> animate([t,r4(t,a), t=-10..10], a=100.1..1000, frames=100, color=red,view=[-11..11,-10..10], title=`Zmena tvaru a definicniho oboru`);
>