parametr.mws

Mejme vceklu jednoduchou diferencialni rovnici

x'(t)-t=a

> with(plots):

> d2:=diff(x(t),t)+t-a=0;

vyresime

> dsolve({d2,x(0)=0}, x(t));

a vytvorime si funkci

> r1:=(t,a)->-1/2*t^2+a*t;

a nyni se podivame, co vlastne zmena parametru a provede s resenim

> animate([t,r1(t,a), t=-30..30], a=-10..10, frames=60, color=blue, view=[-30..30,-50..50], title=`Zmena umisteni reseni v zavislosti na parametru`);

Nyni mame trochu komplikovanejsi diferencialni rovnici, nebot parametr stoji u x'.

ax'(t)-t=1

> d2:=a*diff(x(t),t)-t-1=0;

> dsolve({d2,x(0)=0}, x(t));

Na reseni x(t) je videt, ze a=0 bude cinit problemy. Navic je zrejme, ze se parametr podili i na zmene tvaru reseni

a ne jen na jeho umisteni, jako v predchozim pripade.

Pro a=0 nema rovnice smysl. Pro a<>0 urcuje tento parametr rozevreni paraboly.

> r2:=(t,a)->1/2*t^2/a+t/a;

> animate([t,r2(t,a), t=-7..5], a=0.001..10, frames=50, color=blue, view=[-7..5,-15..10], title=`Zmena tvaru reseni podle parametru`);

Nyni umistime parametr jak k x' tak i k x.

> d3:=diff(x(t),t)/a-x(t)/(a+3)-1=0;

> dsolve({d3,x(0)=0}, x(t));

> r3:=(t,a)->-a-3+exp(a*t/(a+3))*(a+3);

Reseni ma smysl pro a<>-3. Dale je zajimave, ze pro a=3 je resenim konstanta, ktera zavisi na pocatecni podmince. V ostatnich

pripadech dostavame, prislusne modifikovanou, exponencialu.

> animate([t,r3(t,a), t=-50..50], a=-2.8..5, frames=100, color=red, view=[-50..50, -5..15],title=`Tvar reseni v zavislosti na parametru`);

Dosavadni rovnice mely reseni pro skoro vsechny parametry a a definicni obor byla cela realna osa. Jiz ze zadani je videt, ze resit

tuto rovnici ma smysl pouze na intervalu -a < t < a , jinak neni definovana odmocnina.

> d4:=diff(x(t),t)=x(t)/sqrt(a-t^2);

> dsolve({d4,x(0)=1},x(t));

> r4:=(t,a)->exp(arctan(t/(sqrt(a-t^2))));

Stejne jako v zadani i zde je videt omezeni na parametr a a definicni obor.

> animate([t,r4(t,a), t=-10..10], a=100.1..1000, frames=100, color=red,view=[-11..11,-10..10], title=`Zmena tvaru a definicniho oboru`);

>