Integrální pocet
Sem kliknete pro zdrojovy Maple soubor
Neurcity integral ...
Definice : Funkce F se nazývá primitivní funkce k funkci f na intervalu (a,b) (pripoustí se a= -nekonecno, b =+nekonecno ), jestlize pro
vsechna x prvkem (a,b) platí F'(x) = f(x)
Zápis predstavuje mnozinu vsech primitivních funkcí k fukci f a nazývá se neurcitý integrál <z> fukce f.
= F(x) + C, pricemz F'(x) = f(x) a C je libovolná konstanta.
Funkce f se nazývá integrand nebo integrovaná funkce, x integracní promenná, C integracní konstanta.
Protoze integracní konstanta C muze nabývat libovolného reálného císla, príslusí danému integrandu nekonecne mnoho primitivních funkcí.
Funkce f se nazývá integrovatelná, existuje-li k ní primitivní fukce F. Kazdá spojitá funkce je integrovatelná.
Základní integrály
To jsou takzvane lehké integrály, umíme je automaticky odvodit z derivace, takze napríklad, kdyz víme, ze derivace sinu je cosinus, pak také víme, ze integrací cosinu získáme sinus, ovsem nesmíme zapomenout na integraèní konstantu C.
Pro ukázku nekolik jednoduchých príkládku - primitivní funkce je vzdy cervene a integrovana modre ...
Tady jsem dal nejdrive obrazek primitivni funkce a pak integrálu rozdelil jsem je do dvou, kvuli tomu, ze byli na jednom obrazku spatne videt
Integrál z exp(x) - exponenciela je samozrejme opet exp(x) ...
K tomuto je treba dodat, ze chybí vsude +C ...
Substitucní metoda
a) Neurcitý integrál
vypocteme tak, ze najdeme libovolnou primitivní funkci F(x) k funkci f(x) a do výsledku za promennou x dosadíme x=h(t):
= F(h(t)) + C
Pritom predpokládáme, ze funkce h má spojitou derivaci h' na intervalu (alfa,beta), funkce f je spojitá na intervalu (a,b) a h(t) patrí do intervalu (a,b) pro vsechna èísla t z (alfa,beta) ...
b)Neurcitý integrál vypocteme tak, ze najdeme libovolnou primitivní funkci G(t) k funkci f(hz(t))h'(t) a do výsledku za promennou t dosadíme t=u(t), kde u je inverzní funkce k funkci h na intervalu (alfa,beta)
Pritom krome predpokladu uvedených v bode a) jeste predpokládáme existenci inverzní fukce u. Protoze zpravidla z dané funkce t = u(x) odvozujeme vztah x=h(t), je treba také overit existenci a spojitost fukce h na intervalu (alfa,beta)
student[changevar]
Procedura changevar -> balícek student , který voláme with(student).
Substituce bude u:=
Ta cervena je integrovana funkce a ta modra je funkce po substituci ...
Substituce bude u:=
Vrátíme substituci ....
Pro jistotu ukázi, zda je nám to vyslo správne ... i kdyz podle grafu to vypadalo, ze ta modra moc neroste a ze nas ani spetna substituce nezachrani ...
>
Stejny priklad, ta cervena je integrovana funkce a ta modra je funkce po substituci ...
Integrace per partes :
Na otevreném intervalu J platí, ze
kde u=u(x),v=v(x) jsou funkce promenné x, které mají na intervalu J spojité derivace.
Na tomto príklade je jasne videt, jak per Partes funguje, nemí myslím treba dodávat více, snad jen, ze integrál z
je
+C
Jeste existuje metoda parciálních zlomku, ale je to tématika rozsáhlá, a v maplu teroreticky
spatne zvládnutelná, takze odkázi treba na knihu - Bartsch - Matematické vzorce, ze které jsem ostatne sám mnohdy vycházel ... :)
Vztah primitivní funkce k dane funkci. Má funkce je sin(x), integál k ní je -cos(x). Z animace bude videt ,ze s rostouci strmosti primky je vetsi smernice primky.
Tedy ze kdyz je má fukce v nìjakém bodì kladná, je primitivní funkce rostoucí a naopak, je-li nula, je tam maximum, minimum, ci inflexní bod ...
Integrál je jasne -cos(x)
Integral je
Zkuste hádat, co je integrál z této funkce, no, zase tato funkce, proto na obrázku není vidět zelená čára ..
Integrál je 1/3 * x^3