Projektivní prostor dimenze dvě - RP²

Autor: Vladimír Šišma
Datum: březen 2001

Zadání:

Nakreslete Projektivní prostor RP² v euklidovském prostoru E⁴ (,což je R⁴ se standartní topologií otevřených množin, ... - klasický geometrický prostor). (znak R značí množinu reálných čísel.)

Co je Projektivní prostor RP²:
Projektivní prostor RP² je izomorfní 2-rozměrné sféře (povrch koule), která má ztotožněné protější body vzhledem ke středu koule(!).

Řešení:

Popis:

Popišme realizaci RP² podle zadání. Euklidovský prostor E⁴ budeme reprezentovat jako E³ a za čtvrtý rozměr si vezmeme čas. Protože RP² je dvou-dimenzionální, výsledný obrázek je pohybující se uzavřená křivka. Aby byl obrázek co nejnázornější, je vedle "kroutící se" křivky vykreslena i část sféry (dvě obruče), která je v daném čase vzorem právě zobrazené křivce; navíc je obrázek obarven tak, že body se stejnou barvou si odpovídají. Stejně obarvené body na obručích značí ztotožnění podle zadání a stejně obarvené body mezi obručemi a křivkou ukazují zobrazení, které je výsledkem této úlohy.

Dále je přiložen i obrázek rotace plochy, po které se kroutící křivka pohybuje, spolu s jednou křivkou, jež nám pomůže při orientaci.

Několik postřehů:

Rozšiřující informace:

Úloha byla zadána konkrétně pro Projektivní prostor dimenze 2. Níže uvádím definici a pár poznatků, které se týkají rozšíření Projektivního prostoru do více rozměrů, tedy RPⁿ.

Definice: (Projektivní prostor RPⁿ)(nelekněte se - viz Fakt)
Projektivní prostor RPⁿ nazveme prostor (R⁽ⁿ⁺¹⁾-{0})/~, kde "/" je faktorizace a ~ je definována: x1~x2 z R⁽ⁿ⁺¹⁾-{0} právě tehdy, když existuje a z R, že x1=a*x2.

Fakt:

• Projektivní prostor RPⁿ je izomorfní n-rozměrné sféře na (n+1)-rozměrné kouli, která má ztotožněné protější body (vzhledem ke středu koule!).
• Projektivní prostor RPⁿ je izomorfní R⁽ⁿ⁺¹⁾/{L: L je lineární 1-dimenzionální prostor } ("/" ... faktorizace, L jsou vlastně "přímky" procházející počátkem, neboli středem koule)

Obrázky(2 kusy pod sebou)