Vety o existenci reseni diferencialni rovnice 1. radu

Peanova veta

Bud [x0,y0] z O overene podmoziny Rn+1. Potom existuje d>0 a funkce y:I=<x0-d,x0+d> -> Rn, ktera je na I resenim rovnice

y'(x) = f(x,y(x)) (1)

a splnuje pocatecni podminku

y(x0)=y0 (2)

Picardova veta

Rekneme, ze f splnuje na O lokalne Lipschitzovu podminku vzhledem k promnene y, jestlize pro kazdy bod [x0,y0] z O existuje konstanta L>0 a okoli U v O bodu [x0,y0] tak, ze

|f(x,y1)-f(x,y2)|<=L|y1-y2| pro kazde [x,y1],[x,y2] z U

Necht f splnuje ena O lokalne Lipschitzovu podminku vzhledem k y. Bud [x0,y0] z O. Pak existuje d>0 a fce y:I=<x0-d,x0+d> -> Rn, ktera je na I resenim rovnice (1) a splnuje pocatecni podminku (2). Toto reseni je urceno jednoznacne.