Komplexní křivkový integrál


♪♫ ♪ ♪♫ ♪



Problém:

Jak se v rovině postaví strašidelný hrad?


Řešení:

Viděli jsme, že imaginární část komplexního logaritmu je nekonečné schodiště.


Při integraci funkce 1/z podél jednotkové kružnice vystoupáme na primitivní funkci (zde na logaritmu) o jedno patro vzhůru a získáme integrál 2.pi.i. Této stuaci říkáme, že v počátku je reziduum 1.


Pokud dáme rezidua do bodů -1 a +1, dostaneme podél dvojkové kružnice nulu, pokud jednou stoupáme a jednou klesáme



nebo 4.pi.i, pokud v obou případech stoupáme



Pokud budou schodiště umístěna v bodech -1, 0 a +1, dostaneme následující modely imaginární části (příslušná schodiště stoupají či klesají a je to docela zmatek nezabloudit)





Reziduum v předchozích případech bylo plus nebo mínus 1. Kdyby to nebyla celá čísla, ještě více by se to proplétalo . . .


Další bludiště lze zařídit s funkcí odmocnina. Zde jsou reáona i imaginární část druhé odmocniny.



A zde jenom reálná část druhé odmocniny.



A třetí odmocnina (reálná i imaginární část vypadají podobně)



To samé pro čtvrtou odmocninu



A pátá je zase stejná



Imaginární část arkussinu je také pěkná