Mocninné řady


♪♫ ♪ ♪♫ ♪



Problém:

Jak se v rovině pomocí nekonečných polynomů hledají útesy?

Útesy jsou velmi důležité.



Řešení:


Sestavíme si nekonečný polynom (mocninnou řadu) 1 + z + z^2 + z^3 + ... a zjistíme, kde konverguje. Poloměr konvergence je 1.


Je patrné, že řada má součet 1/(1-z). Tato funkce není definovaná v 1 a řada v 1 děsivě diverguje.


To není náhoda. Ať uděláme rozvoj funkce 1/(1-z) z jakémkoliv bodě, poloměr konvergence se určí jako vzdálenost k bodu 1.



Jednička je pro tuto funkci jakýsi podmořský útes, přes který konvergenční vlna nepřejde.

Jiné funkce mohou mít své podmořské útesy také. Tak se prostě komplexní mocninné řady chovají.



BTW, tím se vysvětlilo, proč řada pro arctg x konverguje pouze na intervalu (-1,1). Její podmořský útes je v bodech i a -i (podmořský útes arctg z je stejný jako u jeho derivace 1/(1+z^2), tedy v i a -i).