Komplexní integrace


♪♫ ♪ ♪♫ ♪



Problém:

Jak se v komplexní rovině chodí po schodech?


Řešení:

Zkusíme integrovat funkci 1/z. Vzhledem k tomu, že exponenciála má za derivaci opět exponenciálu, bude primitivní funkcí k 1/z v komplexní rovině komplexní logaritmus.


Takže pokud se bude integrovat podle jednotkové kružnice proti směru hodinových ručiček, budeme hodnoty primitivní funkce odečítat na následujícím obrázku a zjistíme, že si logaritmus při tom nasbíral přírůstek 2.pi.i.


Když ale budeme hledat tentýž přírůstek na reálné a imaginární složce komplexního logaritmu zvlášť, dostaneme se na schody.


Na reálné složce (log|z|) to jde ještě po rovině (jde ovládat myší, v animačním panelu nastavíme "loop"):